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第四章逻辑推理ppt

发布时间:2019-08-20 12:32 来源:未知 编辑:admin

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  第章逻辑推理知识是一切智能行为的基础但仅存储知识不足以使计算机具有智能。必须能够很好地利用知识使计算机具有思维能力能够运用知识进行推理求解问题。智能系统的推理过程实际上是一种思维过程。推理的基本概念按照某种策略从已知事实出发推出结论的过程。推理所用的事实分为两种:初始证据与中间结论智能系统的推理过程是通过推理机来完成的。所谓推理机就是智能系统中用来实现推理的程序。一什么是推理*使用某些前提产生结论的行动。二推理方法及其分类可以从不同角度对推理方式进行分类(逻辑基础、所用知识的确定性、推理过程的单调性)按推理的逻辑基础分类演绎推理归纳推理默认推理演绎推理由一般到个别的推理方法。核心是三段论通常由一个大前提、一个小前提和一个结论三部分组成的。例:阿凡提的故事两头驴的故事①我肩上驮的是两头驴的东西(大前提)②国王和大臣的衣衫是我肩上驮的(小前提)③国王和大臣的衣衫是两头驴的东西(结论)归纳推理从一类事物的大量特殊事例出发去推出该类事物的一般性结论。(从个别到一般)基本思想是:先从已知事实中猜测出一个结论然后对这个结论的正确性加以证明确认。(归纳结论不具备逻辑必然性)数学归纳法就是归纳推理的一种典型例子。如果按照所选事例的广泛性可分为完全归纳推理和不完全归纳推理如果按照推理所使用的方法可分为枚举归纳推理、类比归纳推理、统计归纳推理和差异归纳推理等。演绎推理所得出的结论蕴含在一般性知识的前提中演绎推理只不过是将已有事实揭示出来因此它不能增殖新知识。在归纳推理中所推出的结论是没有包含在前提内容中的。这种由个别事物或现象推出一般性知识的过程是增殖新知识的过程。演绎推理与归纳推理的区别确定性推理推理所使用的知识和推出的结论都是可以精确表示的其真值要么为真要么为假不会有第三种情况出现。经典逻辑推理不确定性推理推理时所用的知识不都是确定的推出的结论也不完全是确定的其真值位于真与假之间。概率(probability)模糊(fuzzy)按所用知识的确定性分类按推理过程的单调性分类单调推理在推理过程中每当使用新的知识后所得到的结论会越来越接近于目标而不会出现反复情况即不会由于新知识的加入否定了前面推出的结论从而使推理过程又退回到先前的某一步。非单调推理在推理过程中当某些新知识加入后会否定原来推出的结论使推理过程退回到先前的某一步。三推理控制策略如何使用领域知识使推理过程尽快达到目标?推理控制策略可分为推理策略和搜索策略。推理策略主要解决推理方向、冲突消解等问题如推理方向控制策略、求解策略、限制策略、冲突消解策略等搜索策略主要解决推理线路、推理效果、推理效率等问题推理策略推理方向正向推理、逆向推理、混合推理求解策略一个解所有解或最优解?限制策略对推理的深度,宽度,时间,空间等进行限制冲突消解策略如何从多条可用知识中选择?正向推理从已知事实出发、正向使用推理规则也称为数据驱动推理或前向链推理基本思想:推理机根据已有事实寻找当前可用知识然后按照冲突消解策略从当前可用知识集中选择一条知识进行推理并将新推出的事实作为后面继续推理时可用的已知事实。重复上述过程直到求出所需要的解或者知识库中再无可用知识。逆向推理以假设目标作为出发点进行推理也称为目标驱动推理或逆向链推理基本思想:首先将要求证的目标(称为假设)构成假设集从中逐个取出假设进行验证。如该假设为已知事实或原始证据则假设成立如该假设可由知识库中的一个或多个知识导出则知识库中所有可以导出该假设的知识构成当前可用知识集从中选择一个知识将其前提中的所有子条件都作为新的假设放入假设集。重复上述过程直到假设集为空时成功退出或假设集非空但可用知识集为空时失败退出。正向推理逆向推理优点比较直观允许用户主动提供有用的事实信息。推理过程的目标明确同时也有利于向用户提供解释缺点推理无明确目标会执行许多与解无关的操作效率较低初始目标选择有盲目性若选择不好可能需要多次提出假设影响系统效率混合推理把正向推理和逆向推理结合起来所进行的推理实现方法先正向后逆向先逆向后正向双向混合推理同时作正向和逆向推理二者在某处碰头推理的冲突消解策略在推理过程中同时有多条知识可用则发生“冲突”。如正向推理时有多条规则的前件与已有事实匹配成功或逆向推理时有多条规则的后件与已有事实匹配成功。从多条可用知识中选择用于推理的最佳知识称为“冲突消解”其中所用策略称为“冲突消解策略”。冲突消解策略基本思想对可用知识进行排序常用排序方法按特殊性排序按新鲜性排序差异性大的知识优先领域特点优先上下文关系优先前提条件少者优先推理的逻辑基础根据经典逻辑的逻辑规则进行的一种推理确定性推理主要推理方法包括自然演绎推理归结演绎推理与或形演绎推理推理的逻辑基础一阶谓词逻辑表示谓词公式的解释谓词公式的永真性与可满足性谓词公式的等价性与永真蕴含性谓词公式的范式置换与合一一、一阶谓词逻辑表示的逻辑基础命题与真值论域和谓词连接词和量词项与合式公式自由变元和约束变元命题与真值一个陈述句称为一个断言。凡有真假意义的断言称为命题。命题的意义通常称为真值它只有真假两种情况。真值为真记为T反之记为F。一个命题不能同时既为真又为假例:“城楼在长安街的北边”是一个真值为T的命题“广场在长安街的北边”则是一个真值为F的命题。命题与真值一个命题可在一定条件下为真在另外的条件下为假例:“北京今天有雨”没有真假意义的感叹句、疑问句等都不是命题。命题的优点是简单、明确其主要缺点是无法描述客观事物的结构及其逻辑特征也无法表示不同事物间的共性。论域和谓词论域是由所讨论对象之全体构成的非空集合。在谓词逻辑中命题是用谓词来表示的。一个谓词可分为谓词名和个体两部分。谓词定义:设D是论域P:Dn→{TF}是一个映射其中Dn={(x,x,…,xn)x,x,…,xn∈D}则称P是一个n元谓词(n=,,…),记为P(x,x,…,xn)。其中,x,x,…,xn为个体变元。谓词在谓词P(x,x,……,xn)中如果xi(i=,,…,n)都是个体常量、变元或函数称它为一阶谓词。如果某个xi本身又是一个一阶谓词则称它为二阶谓词。例子“王宏是学生”STUDENT(Wanghong)。“x”Greater(x,)“王宏的父亲是教师”TEACHER(father(Wanghong))连接词┓:“非”或者“否定”┓P对其后面命题的否定使该命题的真值与原来相反。∨:“析取”P∨Q两个命题之间具有“或”的关系。∧:“合取”P∧Q两个命题之间具有“与”的关系。→:“条件”或“蕴含”P→Q表示“若…则…”的语义。←→:“双条件”P←→Q表示“当且仅当”的语义同命题逻辑连接简单命题成复合命题对以上连接词的定义可用下表所给出的谓词逻辑真值表来表示。谓词逻辑真值表PQ~PP∨QP∧QP→QP←→QTTFTTTTTFFTFFFFTTTFTFFFTFFTT量词量词是由量词符号和被其量化的变元所组成的表达式对谓词中的个体作出量的规定。全称量词:命题(x)P(x)为真当且仅当对论域中的所有x都有P(x)为真。命题(x)P(x)为假当且仅当至少存在一个x∈D使得P(x)为假。存在量词命题(x)P(x)为真当且仅当至少存在一个x∈D使得P(x)为真。命题(彐x)P(x)为假当且仅当对论域中的所有x都有P(x)为假。彐项与合式谓词公式合法的表达式称为合式公式项:()单独一个个体词是项()若tt,…tn是项f是n元函数则f(t,t,…,tn)是项()由(),()生成的表达式是项原子谓词公式:若tt…tn是项P是谓词符号则称P(t,t,…,tn)为原子谓词公式。项与合式合式公式:()单个原子谓词公式是合式公式()若A是合式公式则┓A也是合式公式()若A、B都是合式公式则A∨BA∧BA→BA←→B也都是合式公式()若A是合式公式x是项则(x)A和(彐x)A也都是合式公式。自由变元和约束变元当一个谓词公式含有量词时区分个体变元是否受量词的约束是很重要的。通常把位于量词后面的单个谓词或者用括号括起来的合式公式称为该量词的辖域辖域内与量词中同名的变元称为约束变元不受约束的变元称为自由变元。(x)(P(x,y)→Q(x,y))∨R(x,y)谓词逻辑表示法谓词逻辑可以用来表示知识事物的状态、属性、概念等事实性知识通常用否定、析取或合取符号连接起来的谓词公式表示。事物的因果关系即规则通常用蕴含式表示例如对“如果x则y”,可表示为“x→y”。谓词逻辑表示法例子“每个人都有一个父亲”(x)(y)(PERSON(x)→HASFATHER(x,y))“所有教师都有自己的学生”(x)(y)(TEACHER(x)→TEACHES(x,y)∧STUDENT(y))“所有的整数不是偶数就是奇数”(x)(I(x)→E(x)∨O(x))彐彐例:机器人移盒子问题设在一房间里c处有一个机器人a和b处各有一张桌子分别称为a桌和b桌a桌子上有一盒子如下图所示。要求机器人从c处出发把盒子从a桌上拿到b桌上然后再回到c处。请用谓词逻辑来描述机器人的行动过程。机器人移盒子ABC谓词逻辑表示的应用在这个例子中不仅要用谓词公式来描述事物的状态、位置而且还要用谓词公式表示动作。为此需要定义如下谓词公式:TABLE(x):x是桌子EMPTY(y):y手中是空的AT(y,z):y在z的附近HOLDS(y,w):y拿着wON(wx):w在x桌面上。其中:x的个体域是:y的个体域是:z的个体域是:w的个体域是:{ab}{robot}{abc}{box}问题的初始状态是:AT(robot,c)EMPTY(robot)ON(boxa)TABLE(a)TABLE(b)问题的目标状态是:AT(robotc)EMPTY(robot)ON(boxb)TABLE(a)TABLE(b)使用规则!机器人行动的目标是把问题的初始状态转换为目标状态而要实现问题状态的转换需要完成一系列的操作。对于每个操作一般都可分为条件和动作两个部分.条件部分用来说明执行该操作必须具备的先决条件动作部分给出了该操作对问题状态的改变情况。条件部分可用谓词公式来表示动作部分则是通过在执行该操作前的问题状态中删去和增加相应的谓词来实现的。在本问题中机器人需要执行以下三个操作:Goto(xy):从x处走到y处。Pickup(x):在x处拿起盒子。Setdown(x):在x处放下盒子。这三个操作对应的条件与动作如下:Goto(x,y)条件:AT(robot,x)动作:删除表:AT(robot,x)添加表:AT(robot,y)Pickup(x)条件:ON(box,x)TABLE(x)AT(robot,x)EMPTY(robot)动作:删除表:EMPTY(robot)ON(boxx)添加表:HOLDS(robot,box)Setdown(x)条件:AT(robot,x)TABLE(x)HOLDS(robot,box)动作:删除表:HOLDS(robot,box)添加表:EMPTY(robot)ON(box,x)机器人在执行每一操作之前都需要检查当前状态是否可以满足该操作的先决条件。如果满足就执行相应的操作否则就检查下一个操作所要求的先决条件。作为谓词逻辑知识表示方法的应用下面给出这个机器人行动规划问题的求解过程。其中在检查先决条件是否满足时还需要进行变量的置换。谓词逻辑表示的应用状态l(初始状态)AT(robot,c)开始EMPTY(robot)========ON(boxa)TABLE(a)TABLE(b)Goto(xy)===============〉用c代换xa代换y状态AT(robot,a)EMPTY(robot)ON(box,a)TABLE(a)TABLE(b)Pickup(x)======用a代换x状态AT(robota)HOLDS(robotbox)TABLE(a)TABLE(b)Goto(xy)======>用a代换xb代换y状态AT(robotb)HOLDS(robotbox)TABLE(a)TABLE(b)Setdown(x)============用b代换x状态AT(robot,b)EMPTY(robot)ON(box,b)TABLE(a)TABLE(b)Goto(xy)============用b代换xc代换y状态(目标状态)AT(robotc)EMPTY(robot)ON(box,b)TABLE(a)TABLE(b)二谓词公式的解释设D是谓词公式P的非空个体域若对P中的个体常量、函数和谓词按如下规定赋值:()为每个个体常量指派D中的一个元素()为每个n元函数指派一个从Dn到D的一个映射其中Dn∈{(x,x,……xn)x,x,……,xn∈D}()为每个n元谓词指派一个从Dn到{T,F}的映射则称这些指派为P在D上的一个解释。例:设个体域D={,}求公式A=(x)(y)P(x,y)在D上的解释并指出在每一种解释下公式A的真值。由上面的例子可以看出谓词公式的其值都是针对某一个解释而言的它可能在某一个解释下真值为T而在另一个解释下为F。P(,)P(,)P(,)P(,)TFTFP(,)P(,)P(,)P(,)TTFF例:设个体域D={}求公式B=(x)P(F(x)a)在D上的解释并指出在该解释下公式B的真值。对个体常量和函数的指派对谓词的指派aF()F()P(,)P(,)P(,)P(,)T×T×三谓词公式的永真性与可满足性如果谓词公式P对非空个体域D上的任一解释都取得真值T(F)则称P在D上是永真(假)的如果P在任何非空个体域上均是永真(假)的则称P永真(假)。永假性又称不可满足性或不相容性。对于谓词公式P如果至少存在D上的一个解释使公式P在此解释下的真值为T则称公式P在D上是可满足的。谓词公式的可满足性又称为相容性四谓词公式的等价性与永真蕴含性谓词公式的等价性和永真蕴含性可分别用相应的等价式和永真蕴含式来表示。这些等价式和永真蕴含式都是演绎推理的主要依据因此也称它们为推理规则。.等价式谓词公式的等价式可定义如下:定义:设P与Q是D上的两个谓词公式若对D上的任意解释P与Q都有相同的真值则称P与Q在D上是等价的。如果D是任意非空个体域则称P与Q是等价的记作P==Q。()双重否定率p==p()交换率P∨Q==Q∨PP∧Q==Q∧P()结合率(P∨Q)∨R==P∨(Q∨R),(P∧Q)∧R==P∧(Q∧R)()分配率P∨(Q∧R)==(P∨Q)∧(P∨R)P∧(Q∨R)==(P∧Q)∨(P∧R)()狄·摩根定律(P∨Q)==P∧Q(P∧Q)==P∨Q()吸收率P∨(P∧Q)==PP∧(P∨Q)==P()补余率P∨P==T,P∧P==F()连词化归率P→Q==P∨Q永真蕴含式定义:对谓词公式P和Q如果P→Q永真则称P永真蕴含Q且称Q为P的逻辑结论P为Q的前提记作P=Q。()化简式P∧Q=PP∧Q=Q()附加式P=P∨QQ=P∨Q()析取三段论PPVQ=Q()假言推理PP→Q=Q()拒取式QP→Q=P()假言三段论P→QQ→R=P→R()二难推理P∨QP→RQ→R=R()全称固化(x)P(x)=P(y)其中y是个体域中的任一个体利用此永真蕴含式可消去谓词公式中的全程量词。()存在固化(彐x)P(x)=P(y)其中y是个体域中某一个可以使P(y)为真的个体利用此永真蕴含式可消去谓词公式中的存在量词。范式是公式的标准形式公式往往需要变换为同它等价的范式以便对它们作一般性的处理。在谓词逻辑中根据量词在公式中出现的情况可将谓词公式的范式分为两种:前束范式Skolem范式五.谓词公式的范式前束范式设F为一谓词公式如果其中的所有量词均非否定地出现在公式的最前面而它们的辖域为整个公式则称F为前束范式。一般地前束范式可写成:(Qx)…(Qnxn)M(x,x,……,xn)其中Qi(i=…n)为前缀它是一个由全称量词或存在量词组成的量词串M(x,x,……,xn)为母式它是一个不含任何量词的谓词公式。例:(x)(y)(z)(P(x)∧Q(y,z)∨R(x,z))任一谓词公式均可化为与其对应的前束范式Skolem范式如果前束范式中所有的存在量词都在全称量词之前则称这种形式的谓词公式为Skolem范式。例:(x)(z)(y)(P(x)∨Q(yz)∧R(xz))任一谓词公式均可化为与其对应的Skolem范式在不同谓词公式中往往会出现谓词名相同但其个体不同的情况此时推理过程是不能直接进行匹配的需要先进行置换。例如可根据全称固化推理和假言推理由谓词公式W(A)和(x)(W(x)→W(x))推出W(A)。可以看出要使用假言推理首先需要找到项A对变元x的置换使W(A)与W(x)一致。这种寻找项对变元的置换使谓词一致的过程叫做合一的过程。下面讨论置换与合一的有关概念与方法。六.置换与合一置换(Substitution)置换是形如{tx,tx,……,tnxn}的有限集合。其中t,t,…,tn是项x,x,…,xn是互不相同的变元tixi表示用ti置换xi。并且要求ti与xi不能相同xi不能循环地出现在另一个ti中。置换的目的是将某些变元用另外的变元、常量或函数取代使其不在公式中出现。例:{a/xc/yf(b)/z}{g(y)x,f(x)y}置换的合成设θ={tx,tx,……,tnxn},λ={uy,uy,……,umym}是两个置换。则θ与λ的合成也是一个置换记作θ·λ它是从集合{tλx,tλx,……,tnλxn,uy,uy,…,umym}中删去以下两种元素①当tiλ=xi时删去tiλxi②当yi∈{x,x,…,xn}时删去uj/yj。最后剩下的元素所构成的集合。置换的合成实例例:设θ={f(y)x,zy},λ={ax,by,yz}求θ与λ的合成。先求出集合{f(by)x,(yz)y,ax,by,yz}={f(b)x,yy,ax,by,yz}根据条件①删除yy根据条件②删除ax和by最后得θ·λ={f(b)x,yz}θ={f(y)x,zm},λ={ax,by,mz}{f(by)x,(mz)m,ax,by,mz}={f(b)x,mm,ax,by,mz}根据条件①删除mm根据条件②删除ax最后得θ·λ={f(b)x,by,mz}合一可以简单地理解为是寻找项对变量的置换使两个谓词公式一致。其形式定义如下: 定义:设有公式集F={F,F,…,Fn},若存在一个置换θ可使Fθ=Fθ=Fθ=……Fnθ。则称θ是F的一个合一。称F,F,…,Fn是可合一的。一般来说.一个公式集的合一不是唯一的。定义:设σ是公式集F的一个合一,如果对F的任一个合一θ都存在一个置换λ可使θ=σ·λ,则称σ是一个最一般合一(MostGeneralUnifier简记MGU)。一个公式集的最一般合一是唯一的。如果用最一般合一去置换可合一的谓词公式,可使它们变成完全一致的谓词公式。合一(Unifier)合一算法设F={F,F,…,Fn}是一个非空有限的公式集,从F中每个公式的第一个符号同时向右比较,直到发现第一个不相同的符号为止,从F的每个公式中取出以第一个不相同符号开始的最大子表达式,并组成一个集合D,则D称为F的分歧集(DisagreementSet)。例:求F={P(x,y,z)P(x,f(a),h(b))的分歧集解:这里F=P(xyz)F=P(x,f(a),h(b)F中的y与F中的f(a)不同它们构成了一个分歧集:D={y,f(a)}F中的z与F中的h(b)不同它们又构成了一个分歧集:D={z,h(b)}合一算法()令k=,Fk=F,σk=ε(空置换)()若Fk只含有一个表达式则算法停止,σk就是最一般合一()找出Fk的分歧集DK()若DK中存在元素xk和tk,xk是变元,tk是项,同时xk不在tk中出现,则置σk=σk·{tkxk},Fk=Fk{tkxk},k=k然后转()()算法停止F的最一般合一不存在。例:求公式集F={P(a,x,f(g(y)))P(z,h(a,u),f(u))}的最一般合一解:根据合一算法,首先置k=F=Fσ=εF不是单一表达式,有D={a,z}其中z为变元,并且z不在a中出现,从而σ=σ·{az}F=F(az)={P(a,x,f(g(y)))P(a,h(a,u),f(u))}k=:F不是单一表达式,D={x,h(a,u)}其中x为变元,从而σ=σ·{h(a,u)x}={az,h(a,u)x}F=F(h(a,u)x)={P(a,h(a,u),f(g(y)))P(a,h(a,u),f(u))}k=:F不是单一表达式,D={g(y),u}其中u为变元,从而σ=σ·{g(y)u}={az,h(a,g(y))x,g(y)u}F=F(g(y)u)={P(a,h(a,g(y)),f(g(y)))P(a,h(a,g(y)),f(g(y)))}={P(a,h(a,g(y)),f(g(y)))}k=:F已是单一表达式,从而σ={az,h(a,g(y))x,g(y)u}是F的最一般合一从一组已知为真的事实出发直接运用经典逻辑中的推理规则推出结论。注意避免两类错误:肯定后件的错误是指当P→Q为真时希望通过肯定后件Q为真来推出前件P为真否定前件的错误是指当P→Q为真时希望通过否定前件P来推出后件Q为假天下雨地湿肯定后件:地湿下雨否定前件:天不下雨地不湿自然演绎推理例:设已知如下事实:()只要是需要编程序的课王程都喜欢。()所有的程序设计语言课都是需要编程序的课。()C是一门程序设计语言课。求证:王程喜欢C这门课。证明:首先定义谓词Prog(x)x是需要编程序的课。Like(x,y)x喜欢y。Lang(x)x是一门程序设计语言课。把上述已知事实及待求解问题用谓词公式表示如下:Prog(x)→Like(Wangx)(x)(Lang(x)→Prog(x))Lang(C)应用推理规则进行推理:(x)(Lang(x)→Prog(x))=Lang(y)→Prog(y)全称固化Lang(C)Lang(y)→Prog(y)=Prog(C)假言推理Prog(C)Prog(x)→Like(Wangx)=Like(WangC)假言推理因此王程喜欢C这门课。例:设已知如下事实:ABA→CB∧C→DD→Q求证:Q为真。证明:因为AA→C=C假言推理BC=B∧C引入合取词B∧CB∧C→D=D假言推理DD→Q=Q假言推理所以Q为真。自然演绎推理优缺点优点过程自然易于理解推理规则丰富缺点容易产生知识爆炸推理过程中得到的中间结论一般按指数规律递增对于复杂问题的推理不利甚至难以实现归结演绎推理基于鲁宾逊(Robinson)归结原理的机器推理技术。鲁宾逊归结原理亦称为消解原理是鲁宾逊于年在海伯伦(Herbrand)理论的基础上提出的一种基于逻辑的“反证法”。在人工智能中几乎所有的问题都可以转化为一个定理证明问题。而定理证明的实质就是要对前提P和结论Q证明P→Q永真。欲证明P→Q永真一种途径是证明P→Q在任何一个非空个体域上都是永真的。非常困难难以实现可将关于永真性的证明转化为关于不可满足性的证明。即要证明P→Q永真只要能够证明P∧Q是不可满足的就可以了。海伯伦理论和鲁宾逊归结原理。理论基础实现条件文字:原子谓词公式及其否定统称为文字。例如P(x)、Q(y)、P(x)、Q(y)等都是文字。.子句和子句集子句:任何文字的析取式称为子句。例如P(x)∨Q(y)P(x,f(x))∨Q(x,g(x))都是子句。空子句:不包含任何文字的子句称为空子句。由于空子句不含有任何文字也就不能被任何解释所满足因此空子句是永假的不可满足的。空子句一般被记为□或NIL。子句集:由子句或空子句所构成的集合称为子句集。一子句集及其化简子句集的化简在谓词逻辑中任何一个谓词公式都可以通过应用等价关系及推理规则化成相应的子句集。其化简步骤如下:(l)消去连接词“→”和“←→”反复使用如下等价公式:P→Q=PVQP←→Q=(P→Q)∧(Q→P)=(P∧Q)V(P∧Q)即可消去谓词公式中的连接词“→”和“←→”。例如公式(x)((y)P(x,y)→(y)(Q(x,y)→R(x,y)))经等价变化后为(x)((y)P(x,y)V(y)(Q(x,y)VR(x,y)))()减少否定符号的辖域(即把否定符号移到紧靠谓词的位置上)反复使用双重否定律(P)==P狄·摩根定律(P∨Q)==P∧Q(P∧Q)==P∨Q量词转换律(x)P==(彐x)P(彐x)P==(x)P将每个否定符号“”移到仅靠谓词的位置使得每个否定符号最多只作用于一个谓词上。例如上步所得公式经本步变换后为(x)((彐y)P(x,y)∨(彐y)(Q(x,y)∧R(x,y)))()对变元标准化在一个量词的辖域内把谓词公式中受该量词约束的变元全部用另外一个没有出现过的任意变元代替使不同量词约束的变元有不同的名字。例如上步所得公式经本步变换后为(x)((彐y)P(x,y)∨(彐z)(Q(x,z)∧R(x,z)))()化为前束范式化为前束范式的方法是把所有量词都移到公式的左边并且在移动时不能改变其相对顺序。由于第()步已对变元进行了标准化每个量词都有自己的变元这就消除了任何由变元引起冲突的可能因此这种移动是可行的。例如上步所得公式化为前束范式后为:(x)(彐y)(彐z)(P(x,y)∨(Q(x,z)∧R(x,z)))()消去存在量词消去存在量词时需要区分以下两种情况。若存在量词不出现在全称量词的辖域内(即它的左边没有全称量词)只要用一个新的个体常量替换受该存在量词约束的变元就可消去该存在量词。若存在量词位于一个或多个全称量词的辖域内例如(x)(x)……(xn)(彐y)P(x,x,……,xn,y)则需要用Skolem函数y=f(x,x,……,xn)替换受该存在量词约束的变元然后再消去该存在量词。例如在上步所得公式中存在量词(彐y)和(彐z)都位于(x)的辖域内因此都需要用Skolem函数来替换。设替换y和z的Skolem函数分别是f(x)和g(x)则替换后的公式为:(x)(彐y)(彐z)(P(x,y)∨(Q(x,z)∧R(x,z)))f(x)g(x)g(x)()化为Skolem标准形Skolem标准形的一般形式为(x)(x)……(xn)M(x,x,……,xn)其中M(x,x,……,xn)是Skolem标准形的母式它由子句的合取所构成。把谓词公式化为Skolem标准形需要使用以下等价关系PV(Q∧R)=(PVQ)∧(PVR)例如上步所得的公式化为Skolem标准形后为(x)((P(x,f(x))∨Q(x,g(x)))∧(P(x,f(x))∨R(x,g(x))))()消去全称量词由于母式中的全部变元均受全称量词的约束并且全称量词的次序已无关紧要因此可以省掉全称量词。但剩下的母式仍假设其变元是被全称量词量化的。例如上步所得公式消去全称量词后为((P(x,f(x))∨Q(x,g(x)))∧(P(x,f(x))∨R(x,g(x))))()消去合取词在母式中消去所有合取词把母式用子句集的形式表示出来。其中子句集中的每一个元素都是一个子句。例如上步所得公式的子句集中包含以下两个子句P(x,f(x))∨Q(x,g(x))P(x,f(x))∨R(x,g(x))()更换变元名称对子句集中的某些变元重新命名使任意两个子句中不出现相同的变元名。由于每一个子句都对应着母式中的一个合取元并且所有变元都是由全称量词量化的因此任意两个相同子句的变元之间实际上不存在任何关系。这样更换变元名是不会影响公式的真值的。例如对上步所得公式可把第二个子句集中的变元名x更换为y得到如下子句集P(x,f(x))∨Q(x,g(x))P(y,f(y))∨R(y,g(y))通过上述化简步骤可以将谓词公式化简为一个标准子句集。由于在消去存在量词时所用的Skolem函数可以不同因此化简后的标准子句集是不惟一的。当原谓词公式为非永假时它与其标准子句集并不等价。当原谓词公式为永假(即不可满足)时其标准子句集则一定是永假的即Skolem化并不影响原谓词公式的永假性。.子句集的应用定理:设有谓词公式F其标准子句集为S则F为不可满足的充要条件是S为不可满足的。二海伯伦理论判定一个于句集是不可满足的=判定该子句集中的子句都是不可满足的。“判定子句对任何非空个体域上的任意解释都是不可满足的”非常困难对一个具体的谓词公式找到一个特殊的论域使得该谓词公式只要在这个特殊的论域上不可满足就能保证它在任何论域上不可满足海伯伦域海伯伦域设S为论域D上的一个子句集则按下述方法构造的域H∞称为海伯伦域简记为H域。(l)令H是S中所有个体常量的集合若S中不包含个体常量则可任取一常量a∈D并令H={a}()令Hi=Hi∪{S中所有n元函数f(x,x,……,xn)xj是Hi中的元素}其中i=,,,……j=,,……,n。例:求S={P(a)Q(x)∨R(f(x))}的H域。解:在此例中只有一个个体常量a依H域的定义有H={a}H={a}∪{f(a)}={a,f(a)}H={af(a)}∪{f(f(a))}={af(a)f(f(a))}……………H∞={af(a)f(f(a)),………}例:求子句集S={R(c)P(f(y))Q(g(x))}的H域。解:在此例中有一个个体常量c和两个函数f(y)、g(x)依H域的定义有H={c}H={cf(c)g(c)}H={cf(c)g(c)f(f(c))f(g(c))g(f(c))g(g(c))}…………H∞={cf(c)g(c)f(f(c))f(g(c))g(f(c))g(g(c))……}为研究子句集的不可满足性除引入个体域H外还需要引入以下几个概念:如果用H域中的元素代替子句中的变元则所得到的子句称为基子句。例如在例中用H域中的元素a或f(a)代替子句Q(x)∨R(f(x))中的变元,所得到的子句Q(a)∨R(f(a))就是基子句。基子句中的谓词称为基原子。如上例中的Q(a)、R(f(a))就是基原子。子句集中所有基原子构成的集合称为原子集。即集合A={所有形如P(tt…tn)的元素}称为子句集S的原子集。其中P(xx…xn)是S中的任一谓词子句集S在H域上的解释就是对S中出现的常量、函数及谓词的取值一次取值就构成一个解释。如果从原子集的角度来看子句集S在H域上的解释就是对S的原子集A中元素的取值。定义:子句集S在H域上的一个解释IH满足如下条件:()在解释IH下常量映射到自身()S中的任一n元函数是Hn→H的映射。其中Hn是一个由属于H的n个元素构成的集合。即函数的自变量h,h,…,hn∈H并且有函数值f(h,h,…,hn)∈H()S中的任一n元谓词是Hn→{T,F}的映射。即谓词的真值可以指派为T或F。H解释定理:设I是S在D域上的解释则S存在着对应于I的H解释IH使得若有S在解释I下为真必有S在解释IH下也为真。并且由此定理还可以得到以下两个定理。定理:子句集S不可满足的充要条件是S的一切H解释都为假。定理:(Herbrand定理)子句集S不可满足的充要条件是存在一个有限的不可满足的基子句集S’。三鲁宾逊归结原理对于句集中的子句做逐次归结证明子句集的不可满足性基本思想首先把欲证明问题的结论否定并加入子句集得到一个扩充的子句集S’。然后设法检验子句集S’是否含有空子句若含有空子句则表明S’是不可满足的若不含有空子句则继续使用归结法在子句集中选择合适的子句进行归结直至导出空子句或不能继续归结为止。有关概念与定理若P是原子谓词公式则称P与P为互补文字。设C和C是子句集中的任意两个子句如果C中的文字L与C中的文字L互补那么可从C和C中分别消去L和L并将C和C中余下的部分按析取关系构成一个新的子句C。则称这一过程为归结称C为C和C的归结式称C和C为C的亲本子句。例设C=P∨QC=QC=P求C、C、C的归结式C。解:先对C、C归结可得C=P然后再对C和C归结得到C=NILQPNIL归结过程的树形表示定理:归结式C是其亲本子句C和C的逻辑结论。推论:设C和C是子句集S中的两个子句C是C和C的归结式若用C代替C和C后得到新的子句集S则由S的不可满足性可以推出原子句集S的不可满足性。推论:设C和C是子句集S中的两个子句C是C和C的归结式若把C加入S中得到新的子句集S则S与S的不可满足性是等价的。为证明子句集S的不可满足性只要对其中可进行归结的子句进行归结并把归结式加入到子句集S中或者用归结式代替他的亲本子句然后对新的子句集证明其不可满足性就可以了。如果经归结能得到空子句根据空子句的不可满足性即可得到原子句集S是不可满足的结论。应用归结原理证明定理的过程称为归结反演。在命题逻辑中对不可满足的子句集S其归结原理是完备的。这种完备性可用如下定理描述:定理:子句集S是不可满足的当且仅当存在一个从S到空子句的归结过程。已知F证明G为真的归结反演过程如下:①否定目标公式G得¬G②把¬G并入到公式集F中得到{F¬G}③把{F¬G}化为子句集S④应用归结原理对子句集S中的子句进行归结并把次得到的归结式并入S中。如此反复进行若出现空子句则停止归结证明G为真命题逻辑的归结反演例:设已知的公式集为{P(P∧Q)→R(S∨T)→QT}求证结论R。解:假设结论R为假即¬R为真将¬R加入公式集并化为子句集S={P¬P∨¬Q∨R¬S∨Q¬T∨QT¬R}其归结过程如右图的归结演绎树所示。在该树中由于根部出现空子句因此命题R得到证明。这个归结证明过程的含义为:开始时假设子句集S中的所有子句均为真即原公式集为真¬R也为真然后利用归结原理对子句集中含有互补文字的子句进行归结并把所得的归结式并入子句集中重复这一过程最后归结出了空子句。根据归结原理的完备性可知子句集S是不可满足的即开始时假设的¬R为真是错误的这就证明了R为真。 ¬P∨¬Q∨R¬R¬P∨¬QP¬Q¬T∨Q¬TTNIL一个命题逻辑的归结演绎树无用谓词逻辑的归结反演C和C是两个没有公共变元的子句L和L分别是C和C中的文字。如果L和¬L存在最一般合一σ则称C=(Cσ-{Lσ})∪(Cσ-{Lσ})为C和C的二元归结式而L和L为归结式上的文字。例设C=P(a)∨R(x)C=¬P(y)∨Q(b)求C。解:取L=P(a)L=¬P(y)则L和¬L的最一般合一是σ=(a/y)可得C=(Cσ-{Lσ})∪(Cσ-{Lσ})=({P(a)R(x)}{P(a)})∪({¬P(a)Q(b)}{¬P(a)={R(x)}∪{Q(b)}={R(x)Q(b)}=R(x)∨Q(b)在这个例子中把Cσ称为C的因子。一般来说若子句C中有两个或两个以上的文字具有最一般合一σ则称Cσ为子句C的因子。如果Cσ是一个单文字则称它为C的单元因子。应用因子概念可对谓词逻辑中的归结原理给出如下定义。定义:若C和C是无公共变元的子句则①C和C的二元归结式②C和C的因子Cσ的二元归结式③C的因子Cσ和C的二元归结式④C的因子Cσ和C的因子Cσ的二元归结式。这四种二元归结式都是子句C和C的二元归结式记为C例:设C=P(y)∨P(f(x))∨Q(g(x))C=¬P(f(g(a)))∨Q(b)求C。解:对C取最一般合一σ=(f(x)/y}得C的因子Cσ=P(f(x))∨Q(g(x))对C的因子和C归结可得到C和C的二元归结式C=Q(g(g(a))∨Q(b)对谓词逻辑前述定理仍然适用即归结式C是其亲本子句C和C的逻辑结论。用归结式取代它在子句集S中的亲本子句所得到的子句集仍然保持着原子句集S的不可满足性。此外对谓词逻辑定理也仍然适用即从不可满足的意义上说一阶谓词逻辑的归结原理也是完备的。谓词逻辑的归结反演过程谓词逻辑的归结反演过程与命题逻辑的归结反演过程相比其步骤基本相同但处理对象有所不同。在化简子句集时谓词逻辑需要把由谓词构成的公式集化为子句集在按归结原理进行归结时谓词逻辑的归结原理需要考虑两个亲本子句的最一般合一。其中()、()是由F化出的个子句()、()、()是由¬G化出的个子句。最后应用谓词逻辑的归结原理对上述子句集进行归结其过程为()¬A(xy)∨¬B(y)由()和()归结取σ={f(x)/z}()¬B(n)由()和()归结取σ={m/xn/y}()NIL由()和()归结取σ={k/n}因此G是F的逻辑结论。上述归结过程可用下图所示的归结树来表示。¬A(x,y)∨¬B(y)¬A(x,y)∨¬B(y)∨C(f(x))¬C(z){f(x)z}A(m,n)¬B(n){mx,ny}B(k)NILkn例的归结树例:“快乐学生”问题。假设:任何通过计算机考试并获奖的人都是快乐的任何肯学习或幸运的人都可以通过所有考试张不肯学习但他是幸运的任何幸运的人都能获奖。求证:张是快乐的。解:先将问题用谓词表示如下:“任何通过计算机考试并获奖的人都是快乐的”(x)(Pass(xcomputer)∧Win(x,prize)→Happy(x))“任何肯学习或幸运的人都可以通过所有考试”(x)(y)(Study(x)∨Lucky(x)→Pass(xy))“张不肯学习但他是幸运的”¬Study(zhang)∧Lucky(zhang)“任何幸运的人都能获奖”(x)(Lucky(x)→Win(x,prize)结论“张是快乐的”的否定¬Happy(zhang)将上述谓词公式转化为子句集如下:()┐Pass(xcomputer)∨┐Win(xprize)∨Happy(x)()┐Study(y)∨Pass(yz)()┐Lucky(u)∨Pass(uv)()┐Study(zhang)()Lucky(zhang)()┐Lucky(w)∨Win(wprize)()┐Happy(zhang)(本子句为结论的否定)┐Pass(x,computer)∨¬Win(x,prize)∨Happy(x)┐Lucky(w)∨Win(w,prize)┐Happy(zhang)┐Pass(w,computer)∨Happy(w)∨┐Lucky(w)┐Pass(zhang,computer)∨┐Lucky(zhang)Lucky(zhang)┐Lucky(u)∨Pass(u,v)┐Pass(zhang,computer)Lucky(zhang)┐Lucky(zhang)NIL{wx}{zhangw}{zhangu,computerv}“快乐学生”问题的归结反演树四归结策略算法:)从初始子句集S出发,对S中的全部子句作出所有可能的归结,得到第一层归结式,把这些归结式的集合称之为S)用S中的全部子句和S中的子句作出所有可能的归结,得到第二层归结式,把这些归结式的集合称之为S)用S和S中的全部子句和S中的子句作出所有可能的归结,得到第三层归结式,把这些归结式的集合称之为S…………广度优先策略例:S={┐I(x)∨R(x),I(a),┐R(y)∨L(y),┐L(a)}用广度优先策略证明S不可满足解:从S出发,依次构成S,S,……直到空子句这种策略有一个有趣的特性就是当问题有解时保证能找到最短归结路径。因此它是一种完备的归结策略。I(a)┐I(x)∨R(x)┐R(y)∨L(y)┐L(a)R(a)┐I(x)∨L(x)┐R(a)L(a)L(a)┐I(a)┐I(a)NIL支持集策略每一次参加归结的两个亲本子句中至少有一个是由目标公式的否定所得到的子句或它们的后裔。支持集策略是完备的当子句集为不可满足时由支持集策略一定能够归结出一个空子句。可以把支持集策略看成是在广度优先策略中引入了某种限制条件这种限制条件代表一种启发信息因而有较高的效率。完备*例:设有如下子句集:S={┐I(x)∨R(x)I(a)┐R(y)∨L(y)┐L(a)}其中┐I(x)∨R(x)为目标公式的否定。用支持集策略证明S为不可满足。证明:从S出发其归结过程如下图所示。┐I(x)∨R(x)I(a)┐R(y)∨L(y)┐L(a)S:R(a)┐I(x)∨L(x)S:L(a)L(a)┐I(a)S:NILS:支持集策略的归结树删除策略所基于的主要想法是:归结过程在寻找可归结子句时子句集中的子句越多需要付出的代价就会越大。如果在归结时能把子句集中无用的子句删除掉这就会缩小搜索范围减少比较次数从而提高归结效率。常用的删除方法有以下几种。()纯文字删除法如果某文字L在子句集中不存在可与其互补的文字┐L则称该文字为纯文字。在归结过程中纯文字不可能被消除用包含纯文字的子句进行归结也不可能得到空子句因此对包含纯文字的子句进行归结是没有意义的应该把它从子句集中删除。对子句集而言删除包含纯文字的子句是不影响其不可满足性的。例如对子句集S={P∨Q∨R┐Q∨RQ┐R}其中P是纯文字因此可以将子句P∨Q∨R从子句集S中删除。删除策略()重言式删除法如果一个子句中包含有互补的文字对则称该子句为重言式。例如P(X)∨┐P(X)P(X)∨Q(X)∨┐P(X)都是重言式不管P(X)的真值为真还是为假P(X)∨┐P(X)和P(X)∨Q(X)∨┐P(X)都均为真。重言式是真值为真的子句。对一个子句集来说不管是增加还是删除一个真值为真的子句都不会影响该子句集的不可满足性。因此可从子句集中删去重言式()包孕删除法设有子句C和C如果存在一个置换σ使得Cσ≤C则称C包孕于C。例如,P(x)包孕于P(y)∨Q(z)σ={y/x}P(x)包孕于P(a)σ=(a/x)P(x)包孕于P(a)∨Q(z)σ={a/x}P(x)∨Q(a)包孕于P(f(a))∨Q(a)∨R(y)σ={f(a)/x}P(x)∨Q(y)包孕于P(a)∨Q(u)∨R(w)σ={a/xu/y}对子句集来说把其中包孕的子句删去后不会影响该子句集的不可满足性。因此可从子句集中删除那些包孕的子句。*尽管使用删除策略的归结,少做了归结但不影响产生空子句。就是说使用删除策略的归结推理是完备的.单文字子句策略如果一个子句只包含一个文字则称此子句为单文字子句。单文字子句策略是对支持集策略的进一步改进它要求每次参加归结的两个亲本子句中至少有一个子句是单文字子句。例:设有如下子句集:S={┐I(x)∨R(x),I(a)┐R(y)∨L(y)┐L(a)}用单文字子句策略证明S为不可满足的。证明:从S出发其归结过程如下图所示。单文字子句策略的归结树SSS┐I(x)∨R(x)┐R(y)∨L(y)I(a)┐L(a)R(a)┐R(a)NIL采用单文字子句策略归结式包含的文字数将少于其亲本子句中的文字数这将有利于向空子句的方向发展因此会有较高的归结效率。但这种策略是不完备的即当子句集为不可满足时用这种策略不一定能归结出空子句。线性输入策略这种策略要求每次参加归结的两个亲本子句中至少应该有一个是初始子句集中的子句。所谓初始子句集是指开始归结时所使用的子句集。例:设有如下子句集:S={┐I(x)∨R(x)I(a)┐R(y)∨L(y)┐L(a)}用线性输入策略证明S为不可满足。证明:从S出发其归结过程如下图所示。 线性输入策略的归结树SSS┐I(x)∨R(x)┐R(y)∨L(y)I(a)┐L(a)R(a)┐R(a)NIL┐I(x)∨L(x)S┐I(a)L(a)┐I(a)L(a)线性输入策略可限制生成归结式的数目具有简单和高效的优点。但是这种策略也是一种不完备的策略。例如子句集S={Q(u)∨P(a)┐Q(w)∨P(w)┐Q(x)∨┐P(x)Q(y)∨┐P(y)}从S出发很容易找到一棵归结反演树但却不存在线性输入策略的归结反演树。.祖先过滤策略这种策略与线性输入策略有点相似但是放宽了对子句的限制。每次参加归结的两个亲本子句只要满足以下两个条件中的任意一个就可进行归结:(l)两个亲本子句中至少有一个是初始子句集中的子句()如果两个亲本子句都不是初始子句集中的子句则一个子句应该是另一个子句的先辈子句。所谓一个子句C是另一个子句C的先辈子句是指C是由C与别的子句归结后得到的归结式。例:设有如下子句集:S={┐Q(x)∨┐P(x)Q(y)∨┐P(y)┐Q(w)∨P(w)Q(a)∨P(a)}用祖先过滤策略证明S为不可满足。证明:从S出发按祖先过滤策略归结过程如下图所示。┐Q(x)∨┐P(x)Q(y)∨┐P(y)┐P(x)┐Q(w)∨P(w)┐Q(w)Q(a)∨P(a)P(a)NIL可以证明祖先过滤策略也是完备的。上面分别讨论了几种基本的归结策略但在实际应用中还可以把几种策略结合起来使用。至于如何结合须根据具体需要而定。总之在选择归结反演策略时主要应考虑其完备性和效率问题。线性输入策略的归结*使用某些前提产生结论的行动。完备**尽管使用删除策略的归结,少做了归结但不影响产生空子句。就是说使用删除策略的归结推理是完备的

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